Богородицк - тульский Петергоф

Есть такая вот абракадабра от студента 1 курса богородицкого техникума.
Надо помочь человеку с решением.
Хотя списано как-то не такто, на мой взгляд.

Числитель задания слева будет равен
9(3x-1)(x+2)
На (3х-1) сократим, предел будет равен 10.5

Для задания слева НТВ предложил оригинальное решение. Но судя по заданию, здесь, на мой взгляд, планировалось применить правило Лопиталя.

Подставляем 1/3 в числитель и знаменатель (даже без преобразований) и получаем:
(27/9 + 45/3 -18 )=0
(9/9 - 1) = 0
Получили предел [0/0]. Применяя правило Лопиталя находим производную числителя и знаменателя в точке 1/3.
Числитель: 54*x+45, в точке 1/3 примет значение 63.
Знаменатель 18*x, , в точке 1/3 примет значение 6.
Делим 63/6 получаем 10.5.

Задание 2 решено верно.

В задании 3 потеряли минус перед x^3/3 в ответе.

В задании 4
7!/6! = 7
5!/6! = 1/6
Получаем 7+1/6

Теперь осталось мне всё это понять самому, переписать поаккуратней и отдать студенту.

Математикам большое спасибо! Я очень на вас рассчитывал и вы меня не подвели.

Беря задание, я на себя и не рассчитывал, так как после 95-го года никакой математикой не занимался вообще и абсолютно всё забыл.
Звонок другу, помощь зала - наше всё!

На листе слева (если смотреть сверху, а так справа) сбоку есть еще несколько примеров. Один недоделан (хотя его можно было и проще решать), второй решен с ошибкой, третий верно. Эти решения нужны?

Bars,
Ничего оригинального. Просто нужно понимать природу неопределенности.
Имеем предел отношения двух многочленов с неопределенностью 0:0.
Эта неопределенность возникает когда при Х->Х0, Х0 является одновременно корнем у этих многочленов - числителя и знаменателя.
Схема вычисления таких пределов стандартна:
- разложение многочленов на множители
- сокращение множителей, приводящих к неопределенности.
Если разложить числитель и знаменатель затруднительно - применяем правило Лопиталя.
Здесь какие трудности? Оба многочлена второй степени.

Bars писал(а):На листе слева (если смотреть сверху, а так справа) сбоку есть еще несколько примеров. Один недоделан (хотя его можно было и проще решать), второй решен с ошибкой, третий верно. Эти решения нужны?

Наверное, нужны. Студент мой не очень копенгаген в математике, списал с доски как получилось.

Если разложить числитель и знаменатель затруднительно - применяем правило Лопиталя.

По-моему, применить правило Лопиталя сразу еще проще.
Мне подход с решением предела через разложение многочленов показался оригинальным, потому что не припомню, чтобы сам так делал. В прочем, узкоспециализированые способы забываются, универсальные помнишь хорошо.

Производную от 5/x^4 проще не через формулу производной дроби делать, как в примере, а представив выражение: 5*x^(-4). Производная будет равна -20*x^(-5). Тоже самое можно получить, если сократить дробь, записанную на листочке.

Интеграл корня выражения как в следующем примере не сложно найти, используя замену.
Обозначим y = 3x+4 (то, что под корнем)
Тогда dy = 3dx (дифференцируем обе части)
Или dx = dy/3
Подставляем, и получаем интеграл от 1/3 * y^(1/2) dy, который будет равен
1/3 * 2/3 * y^(3/2) + C
Подставляем обратно значение y = 3x+4 и получаем:
2/9 * (3x+4)^(3/2) + С